Задача о двух конвертах известна парадоксальным выводом, который следует из логики, кажущейся очевидной. Вариантов парадокса множество, вот как задача описывается в ее простейшем варианте.
Вы должны выбрать одни из двух конвертов с деньгами, известно, что в одном из них сумма в два раза больше, чем в другом. После того как вы выбрали конверт, вам предлагают заменить его на другой, потому что вам это выгодно, ход рассуждений следующий:
«Допустим у вас в конверте X. Тогда в другом конверте с одинаковой вероятностью либо X/2, либо 2X. Ожидаемое значение суммы в другом конверте
0,5*X/2+0,5*2X = 5/4X, что больше чем X, математическое ожидание выигрыша 5/4X - X = 1/4X, то есть поменять конверт выгодно.»
После того как вы поменяли конверты, вам снова предлагают обмен, используя те же самые рассуждения. Получается, что новый обмен выгоден, чего быть не может, парадокс. Где ошибка в рассуждениях?
Парадокс объясняется рядом неправильных выводов. Чтобы уметь правильно решать любой вариант парадокса из этой серии, необходимо прояснить сначала арифметику расчетов.
I. Уровень первый. Арифметика.
A
После того как вы выбрали конверт, в нем находится либо X, либо 2X долларов; тогда, соответственно, в другом конверте находятся 2X, или X. То есть 0,5X нигде нет.
Поясним на конкретном примере. Допустим, в одном конверте лежат 10 долларов, а в другом – 20. Тогда возможны два, и только два, варианта:
1. Вы взяли конверт с 10 долларами, а в другом 20. В случае обмена вы выигрываете 10.
2. Вы взяли конверт с 20 долларами, а в другом 10. В случае обмена вы теряете 10.
Или, если абстрагироваться от конкретных цифр, вы либо меняете X на 2X, либо 2X на X. Вероятность выигрыша считается таким образом 0,5*(2X –X)+0,5*(X-2X)=0
Б
Но, как мы уже говорили, вариантов у парадокса много.В одном из вариантов, сумма, лежащая в другом конверте, определяется подбрасыванием монетки. То есть, действительно, в другом конверте может оказаться с одинаковой вероятностью либо X/2, либо 2X. Ожидаемое значение суммы в другом конверте
0,5*X/2+0,5*2X = 5/4X , то есть поменять конверт выгодно. Почему? Потому что вы равновероятно либо выигрываете X, либо проигрываете X/2. То есть выигрыш больше проигрыша.
Поясним на конкретном примере. Допустим, у вас в конверте лежат 10 долларов. Тогда возможны два, и только два, варианта:
1. В другом конверте 20. В случае обмена вы выигрываете 10.
2. В другом конверте 5. В случае обмена вы теряете 5.
Заметим, если вы не открыли конверт, и вам предлагают повторный обмен, этого делать не следует. У вас теперь X/2, либо 2X, который вам предлагают поменять на X. Ожидаемое значение выигрыша в случае повторного обмена
0,5*(-X)+0,5*(X/2) = -1/4X
То есть, еще раз обратим внимание, что речь идет о разных ситуациях. Поменяться на что-то, что в два раза больше или меньше, чем у вас – выгодно. Поменяться на что-то, если у вас в два раза больше или меньше, чем это что-то – не выгодно.
В
Что же классически считают в парадоксе двух конвертов? Возможна ли такая ситуация, когда и первый обмен и следующий надо просчитывать по формуле 0,5*X/2+0,5*2X = 5/4X ? Нет, с двумя конвертами невозможна.
Г
Однако, выводы, которые мы сделали с применением всей этой арифметики, правильны только с важной оговоркой: Обмен признается выгодным, если математическое ожидание выигрыша больше нуля.
Но эта оговорка, правильная с точки зрения математики, ошибочна с точки зрения логики. Об этом я расскажу во второй части.
Tags: Математика, Психология, финансы, Экономика
WHAT NOW?