Blog de Basile | Think, work, live

Итак, в первой части мы разобрались с вопросом, как правильно применять арифметику в парадоксе двух конвертов. Теперь рассмотрим еще одну, менее явную, категорию ошибок, которая присутствует в рассуждениях.

2. Уровень второй. Математика.

Дело в том, что математика наука очень строгая, но очень абстрактная. Поэтому математики иногда ошибаются, когда применяют свои абстракции на практике. Так случилось и с парадоксом двух конвертов.

В нашем случае, ошибка звучит так : обмен признается выгодным, если математическое ожидание выигрыша больше нуля. И хотя в задаче говорится о вполне жизненной ситуации, а не об абстракции из теоремы Чебышева,  математики не указывают в явном виде это ошибочное допущение. Но, что математику хорошо, то финансисту смерть.

С экономической точки зрения матожидание матожиданию рознь. Покажем это на конкретном примере. Совершенно разные по выгодности обмена ситуации могут иметь одно и то же матожидание.

Ситуация 1.

Вам предлагают поменять ваш конверт с 1 евро на конверт c 2 евро. Матожидание выигрыша положительное

2 – 1 = 1  евро

Надо менять? Надо. Всегда. Вы никак не можете проиграть.

Ситуация 2.

Вам предлагают поменять ваш конверт с 1 евро на один и 10 конвертов. В одном из них 20 евро, в 9-ти остальных пусто. Матожидание выигрыша положительное

0,9*(-1)+0,1*(+19) = 1 евро

Надо менять? Я бы не стал. Но кто-то может и рискнул бы. Тогда

Ситуация 3.

Вам предлагают поменять ваш конверт с 1 евро на один из 1 000 000 конвертов. В одном из них 2 миллиона евро, а в 999 999-ти (почти миллионе) остальных пусто. Матожидание выигрыша положительное

0,000 001 * (+ 1 999 999) + 0,999 999 * (-1) = 1 евро

Надо менять? Нет, как не надо играть в лотерею. Почему?

Потому что применять корректно матожидание для расчетов подобных задач можно только в двух случаях.

Первый случай, если возможен бесконечный (или, на практике, очень длительный) обмен конвертов. Например в ситуации 2 вам дают возможность менять конверт 1 000 раз. Тогда надо менять все 1000 раз. И в итоге вы выиграете с очень большой вероятностью. Впрочем, вы в итоге выиграете и в ситуации 3, если поменяете конверт , к примеру, миллиард раз.

О втором случае, имеющем отношение к экономике, мы поговорим в третьей части.