2. Уровень второй. Математика.

Дело в том, что математика наука очень строгая, но очень абстрактная. Поэтому математики иногда ошибаются, когда применяют свои абстракции на практике. Так случилось и с парадоксом двух конвертов.

В нашем случае, ошибка звучит так : обмен признается выгодным, если математическое ожидание выигрыша больше нуля. И хотя в задаче говорится о вполне жизненной ситуации, а не об абстракции из теоремы Чебышева,  математики не указывают в явном виде это ошибочное допущение. Но, что математику хорошо, то финансисту смерть.

С экономической точки зрения матожидание матожиданию рознь. Покажем это на конкретном примере. Совершенно разные по выгодности обмена ситуации могут иметь одно и то же матожидание.

Ситуация 1.

Вам предлагают поменять ваш конверт с 1 евро на конверт c 2 евро. Матожидание выигрыша положительное

2 – 1 = 1  евро

Надо менять? Надо. Всегда. Вы никак не можете проиграть.

Ситуация 2.

Вам предлагают поменять ваш конверт с 1 евро на один и 10 конвертов. В одном из них 20 евро, в 9-ти остальных пусто. Матожидание выигрыша положительное

0,9*(-1)+0,1*(+19) = 1 евро

Надо менять? Я бы не стал. Но кто-то может и рискнул бы. Тогда

Ситуация 3.

Вам предлагают поменять ваш конверт с 1 евро на один из 1 000 000 конвертов. В одном из них 2 миллиона евро, а в 999 999-ти (почти миллионе) остальных пусто. Матожидание выигрыша положительное

0,000 001 * (+ 1 999 999) + 0,999 999 * (-1) = 1 евро

Надо менять? Нет, как не надо играть в лотерею. Почему?

Потому что применять корректно матожидание для расчетов подобных задач можно только в двух случаях.

Первый случай, если возможен бесконечный (или, на практике, очень длительный) обмен конвертов. Например в ситуации 2 вам дают возможность менять конверт 1 000 раз. Тогда надо менять все 1000 раз. И в итоге вы выиграете с очень большой вероятностью. Впрочем, вы в итоге выиграете и в ситуации 3, если поменяете конверт , к примеру, миллиард раз.

О втором случае, имеющем отношение к экономике, мы поговорим в третьей части.

Вы должны выбрать одни из двух конвертов с деньгами, известно, что в одном из них сумма в два раза больше, чем в другом. После того как вы выбрали конверт, вам предлагают заменить его на другой, потому что вам это выгодно, ход рассуждений следующий:

«Допустим у вас в конверте X. Тогда в другом конверте с одинаковой вероятностью либо X/2, либо 2X.  Ожидаемое значение суммы в другом конверте

0,5*X/2+0,5*2X = 5/4X, что больше чем X, математическое ожидание выигрыша 5/4X -  X = 1/4X, то есть поменять конверт выгодно.»

После того как вы поменяли конверты, вам снова предлагают обмен, используя те же самые рассуждения. Получается, что новый обмен выгоден, чего быть не может, парадокс. Где ошибка в рассуждениях?

Парадокс объясняется рядом неправильных выводов. Чтобы уметь правильно решать любой вариант парадокса из этой серии, необходимо прояснить сначала арифметику расчетов.

I. Уровень первый. Арифметика.

A

После того как вы выбрали конверт, в нем находится либо X, либо 2X долларов; тогда, соответственно, в другом конверте находятся 2X, или X. То есть 0,5X нигде нет.

Поясним на конкретном примере. Допустим, в одном конверте лежат 10 долларов, а в другом – 20. Тогда возможны два, и только два, варианта:

1.         Вы взяли конверт с 10 долларами, а в другом 20. В случае обмена вы выигрываете 10.

2.         Вы взяли конверт с 20 долларами, а в другом 10. В случае обмена вы теряете 10.

Или, если абстрагироваться от конкретных цифр, вы либо меняете X на 2X, либо 2X на X. Вероятность выигрыша считается таким образом 0,5*(2X –X)+0,5*(X-2X)=0

Б

Но, как мы уже говорили, вариантов у парадокса много.В одном из вариантов, сумма, лежащая в другом конверте, определяется подбрасыванием монетки. То есть, действительно, в другом конверте может оказаться с одинаковой вероятностью либо X/2, либо 2X. Ожидаемое значение суммы в другом конверте

0,5*X/2+0,5*2X = 5/4X , то есть поменять конверт выгодно. Почему? Потому что вы равновероятно либо выигрываете X, либо проигрываете X/2. То есть выигрыш больше проигрыша.

Поясним на конкретном примере. Допустим, у вас в конверте лежат 10 долларов. Тогда возможны два, и только два, варианта:

1.         В другом конверте 20. В случае обмена вы выигрываете 10.

2.         В другом конверте 5. В случае обмена вы теряете 5.

Заметим, если вы не открыли конверт, и вам предлагают повторный обмен, этого делать не следует. У вас теперь X/2, либо 2X, который вам предлагают поменять на X. Ожидаемое значение выигрыша в случае повторного обмена

0,5*(-X)+0,5*(X/2) = -1/4X

То есть, еще раз обратим внимание, что речь идет о разных ситуациях. Поменяться на что-то, что  в два раза больше или меньше, чем у вас – выгодно. Поменяться на что-то, если у вас в два раза больше или меньше, чем это что-то – не выгодно.

В

Что же классически считают в парадоксе двух конвертов? Возможна ли такая ситуация, когда и первый обмен и следующий надо просчитывать по формуле 0,5*X/2+0,5*2X = 5/4X ? Нет, с двумя конвертами невозможна.

Г

Однако, выводы, которые мы сделали с применением всей этой арифметики, правильны только с важной оговоркой: Обмен признается выгодным, если математическое ожидание выигрыша больше нуля.

Но эта оговорка, правильная с точки зрения математики, ошибочна с точки зрения логики. Об этом я расскажу во второй части.

Есть конкретная математика, интуитивно понятная, строгая и точная. А есть абстрактная математика, основанная на красивых фантазиях, субъективных и порой ошибочных. Насколько легко конкретная математика осваивается, настолько упорно мозг противится математике абстрактной. Ведь ему совсем неочевидно, для чего именно эту математическую модель-фантазию он должен изучать. Вероятно, у каждого из нас изначально есть какое-то свое понятное видение, которое мы не хотим менять на чужое мировоззрение. Поэтому заранее предупреждаю, что и моя модель, хотя и кажется простой мне, может конфликтовать с уже сложившимся у вас представлением.

Допустим, вам надо разработать большую полностью децентрализованную P2P сеть, работающую в интернете. Например, аналог Скайпа, но совсем без серверов, с полностью равноправными участниками. Основная задача, которую вам надо решить изначально, если узлов много, например, несколько миллиардов, то как узлам найти друг друга быстро?

Допустим, узлу № 5 надо найти в сети IP-адрес узла № 8 589 934 592, как это сделать? Серверов нет, а значит нельзя обратиться к централизованному списку, в котором каждому номеру соответствует IP адрес. Обратиться ко всей сети тоже нельзя, если каждый узел начнет спрашивать у всех, то каждому узлу придется обрабатывать тысячи или даже миллионы обращений в секунду.

Выручит нас простой алгоритм деления на два. Принцип его легко понять. Представьте, что все четные узлы знают адреса друг друга и адрес одного нечетного узла, также все нечетные узлы знают адреса всех нечетных узлов и адрес одного четного числа.  Таким образом, №5 связан со всеми нечетными узлами и с одним четным. Значит, если ему надо найти № 8 589 934 592, он обращается к известному ему четному узлу, а тот ищет искомый узел среди только четных чисел, а их столько же сколько нечетных, которые мы отбросили. То есть мы сделали один шаг и уменьшили область поисков в два раза.

Теперь я перепрыгну через несколько несущественных умозаключений, и начну строить нашу архитектуру с нуля.

Предположим, у нас есть всего два узла на прямой линии, они связаны друг с другом напрямую, то есть знают IP-адреса друг друга, обозначим их 0 и 1. Теперь добавим второе симметричное  измерение, в котором существуют такие же 0 и 1. Добавим к их номерам по 1 на втором месте справа, обозначив таким образом, что они оба из второго измерения: 10 и 11. К номерам узлов из первого измерения мы автоматически добавляем по нулю на вторую справа позицию, чтобы обозначить, что они не из второго измерения. Свяжем каждый номер первого измерения с одним симметричным ему номером второго измерения. Теперь повторим все операции, добавив еще одно симметричное измерение, еще раз удвоив количество узлов. В итоге получим следующую картину.

Связь означает, что узлы знают IP адреса друг друга. У нас три измерения, и каждый узел может найти любой узел максимум за три шага, потому что он по номеру узла знает к узлу из какого измерения ему надо обращаться, чтобы приблизиться к искомому узлу. Если добавить еще одно измерение, то мы еще раз удвоим количество узлов, увеличим каждому узлу количество связей на одну, и увеличим макисмальное количество шагов на единицу. Но представить четырехмерное сооружение становится уже сложно. Допустим, это выглядит как-то так.

Таким образом, получаем простую формулу: два в степени “количество шагов” = “количество узлов”:

Если дано 8 589 934 592 узлов, то любой из узлов найдет любой другой узел за максимум 33 шага, поскольку 8 589 934 592 равно 2 в степени 33. При этом каждый узел будет связан только с 33 другими узлами.

Остается только вообразить себе эту роскошную 33-мерную фигуру и полюбоваться ее изяществом.

Можно поиграть и построить другие варианты фигур. Например, в первом измерении может быть не два узла, а 3, или 5, связанных друг с другом – очень мощная звезда получается, и поиск становится гораздо устойчивее. То есть, если часть узлов отключена, есть запасные пути к искомому узлу.

Упрощенное представление хорошо тем, что позволяет легче манипулировать сложными понятиями.  Обычно мозгу сложно справляться с более чем 7-ю объектами одновременно. Но поскольку мы смогли перейти от больших чисел к малым, да еще и имеем визуальную картинку, теперь можем покрутить в голове звезду с миллиардами ребер.

Итак, мы создали P2P сеть. Каждая вершина для нас – это IP адрес. Но это может быть и другая информация, то есть наша  звезда может представлять собой большую базу данных, которыми мы можем легко манипулировать. Координаты вершин и фигура точек в первом измерении -  это структура организации данных. Структуру мы можем задать самостоятельно, а можем скопировать уже существующую.

Например, представим, что  количество измерений у звезды – это количество страниц, которые посещает человек на определенном сайте. Цифры в номера узла отражают страницы, которые человек посетил и время, которое провел на странице. Например, 019 может означать, что человек быстро прошелся по странице 2 и задержался на странице 3 надолго. Можно немного усложнить структуру и добавить порядок посещения страниц.

Таким образом, в каждом номере узла теперь содержатся полные данные о поведении человека на сайте. Вся звезда теперь представляет набор всех возможных сценариев поведения на сайте. Поскольку у нас есть и пространственное изображение звезды, мы можем сказать, какие узлы ближе друг к другу, а какие – дальше. В этом вся прелесть абстрактной математики – 100-мерную звезду представить невозможно, зато посчитать нетяжело. Таким образом, в ваших руках теперь готовый инструмент для сбора информации о поведении пользователей в интернете, для их сравнительного анализа и для коррекции. В реальном времени. Мечта онлайн маркетинга.  Или можно заложить данные о движениях по банковским счетам клиентов, и сравнивать, наверняка все несчастные клиенты похожи друг на друга. Или цифры из балансов предприятий. Все дело теперь в вашей фантазии и отсутствии функциональной закрепленности.