2. Уровень второй. Математика.

Дело в том, что математика наука очень строгая, но очень абстрактная. Поэтому математики иногда ошибаются, когда применяют свои абстракции на практике. Так случилось и с парадоксом двух конвертов.

В нашем случае, ошибка звучит так : обмен признается выгодным, если математическое ожидание выигрыша больше нуля. И хотя в задаче говорится о вполне жизненной ситуации, а не об абстракции из теоремы Чебышева,  математики не указывают в явном виде это ошибочное допущение. Но, что математику хорошо, то финансисту смерть.

С экономической точки зрения матожидание матожиданию рознь. Покажем это на конкретном примере. Совершенно разные по выгодности обмена ситуации могут иметь одно и то же матожидание.

Ситуация 1.

Вам предлагают поменять ваш конверт с 1 евро на конверт c 2 евро. Матожидание выигрыша положительное

2 – 1 = 1  евро

Надо менять? Надо. Всегда. Вы никак не можете проиграть.

Ситуация 2.

Вам предлагают поменять ваш конверт с 1 евро на один и 10 конвертов. В одном из них 20 евро, в 9-ти остальных пусто. Матожидание выигрыша положительное

0,9*(-1)+0,1*(+19) = 1 евро

Надо менять? Я бы не стал. Но кто-то может и рискнул бы. Тогда

Ситуация 3.

Вам предлагают поменять ваш конверт с 1 евро на один из 1 000 000 конвертов. В одном из них 2 миллиона евро, а в 999 999-ти (почти миллионе) остальных пусто. Матожидание выигрыша положительное

0,000 001 * (+ 1 999 999) + 0,999 999 * (-1) = 1 евро

Надо менять? Нет, как не надо играть в лотерею. Почему?

Потому что применять корректно матожидание для расчетов подобных задач можно только в двух случаях.

Первый случай, если возможен бесконечный (или, на практике, очень длительный) обмен конвертов. Например в ситуации 2 вам дают возможность менять конверт 1 000 раз. Тогда надо менять все 1000 раз. И в итоге вы выиграете с очень большой вероятностью. Впрочем, вы в итоге выиграете и в ситуации 3, если поменяете конверт , к примеру, миллиард раз.

О втором случае, имеющем отношение к экономике, мы поговорим в третьей части.

Вы должны выбрать одни из двух конвертов с деньгами, известно, что в одном из них сумма в два раза больше, чем в другом. После того как вы выбрали конверт, вам предлагают заменить его на другой, потому что вам это выгодно, ход рассуждений следующий:

«Допустим у вас в конверте X. Тогда в другом конверте с одинаковой вероятностью либо X/2, либо 2X.  Ожидаемое значение суммы в другом конверте

0,5*X/2+0,5*2X = 5/4X, что больше чем X, математическое ожидание выигрыша 5/4X -  X = 1/4X, то есть поменять конверт выгодно.»

После того как вы поменяли конверты, вам снова предлагают обмен, используя те же самые рассуждения. Получается, что новый обмен выгоден, чего быть не может, парадокс. Где ошибка в рассуждениях?

Парадокс объясняется рядом неправильных выводов. Чтобы уметь правильно решать любой вариант парадокса из этой серии, необходимо прояснить сначала арифметику расчетов.

I. Уровень первый. Арифметика.

A

После того как вы выбрали конверт, в нем находится либо X, либо 2X долларов; тогда, соответственно, в другом конверте находятся 2X, или X. То есть 0,5X нигде нет.

Поясним на конкретном примере. Допустим, в одном конверте лежат 10 долларов, а в другом – 20. Тогда возможны два, и только два, варианта:

1.         Вы взяли конверт с 10 долларами, а в другом 20. В случае обмена вы выигрываете 10.

2.         Вы взяли конверт с 20 долларами, а в другом 10. В случае обмена вы теряете 10.

Или, если абстрагироваться от конкретных цифр, вы либо меняете X на 2X, либо 2X на X. Вероятность выигрыша считается таким образом 0,5*(2X –X)+0,5*(X-2X)=0

Б

Но, как мы уже говорили, вариантов у парадокса много.В одном из вариантов, сумма, лежащая в другом конверте, определяется подбрасыванием монетки. То есть, действительно, в другом конверте может оказаться с одинаковой вероятностью либо X/2, либо 2X. Ожидаемое значение суммы в другом конверте

0,5*X/2+0,5*2X = 5/4X , то есть поменять конверт выгодно. Почему? Потому что вы равновероятно либо выигрываете X, либо проигрываете X/2. То есть выигрыш больше проигрыша.

Поясним на конкретном примере. Допустим, у вас в конверте лежат 10 долларов. Тогда возможны два, и только два, варианта:

1.         В другом конверте 20. В случае обмена вы выигрываете 10.

2.         В другом конверте 5. В случае обмена вы теряете 5.

Заметим, если вы не открыли конверт, и вам предлагают повторный обмен, этого делать не следует. У вас теперь X/2, либо 2X, который вам предлагают поменять на X. Ожидаемое значение выигрыша в случае повторного обмена

0,5*(-X)+0,5*(X/2) = -1/4X

То есть, еще раз обратим внимание, что речь идет о разных ситуациях. Поменяться на что-то, что  в два раза больше или меньше, чем у вас – выгодно. Поменяться на что-то, если у вас в два раза больше или меньше, чем это что-то – не выгодно.

В

Что же классически считают в парадоксе двух конвертов? Возможна ли такая ситуация, когда и первый обмен и следующий надо просчитывать по формуле 0,5*X/2+0,5*2X = 5/4X ? Нет, с двумя конвертами невозможна.

Г

Однако, выводы, которые мы сделали с применением всей этой арифметики, правильны только с важной оговоркой: Обмен признается выгодным, если математическое ожидание выигрыша больше нуля.

Но эта оговорка, правильная с точки зрения математики, ошибочна с точки зрения логики. Об этом я расскажу во второй части.

Можно было бы объяснить это тем, что если поведение отдельно взятого человека не всегда логично, то и компания, построенная человеком, не будет совершенна. Вот, например, нашел же французский аналитик Эммануель Тодд взаимосвязь между семьей и обществом. Каждая страна выбирает для себя модель общества, исходя из трех базовых характеристик семьи в этой стране: 1) можно ли жениться двоюродным родственникам, 2) все ли дети имеют равные права на наследство, 3) живет ли семья детей с семьей родителей.  Скажи мне, какая у тебя семья, и я скажу, строит ли ваша страна коммунизм. Но компании сегодня все больше мультинациональные, люди и семьи этих людей самые разные. а проблема везде одна и та же.

Возможная причина так же в том, что менеджер компании в повседневной работе обязан выдавать результат, то есть решать задачи, далекие от интересов клиентов: увеличить прибыльность, обеспечить рост, удовлетворить начальника и инвесторов, получить премию. Однако, это давно известная проблема.  Например, одна из самых популярных и вредных бизнес книг в мире In Search of Excellence Питерса и Уотермана (1982) учила строить бизнес на примере 43 крупнейших американских компаний, сильно радовавших своих акционеров. Но уже через 10 лет после выхода книги только 5 из 43 компаний можно было назвать успешными. Все поняли: будешь удовлетворять инвестора, а не клиента, развалишь фирму. Чему-то же топ-менеджеров учат на МБЭйах, старым ошибкам уж точно. Значит не в этом проблема.

Более того, есть модная теория о том, что клиент пошел страшно непостоянный. Как ни старайся, что ему не дай, а он все равно не доволен. “Как только у вас появился первый клиент, вы начали клиентов терять”. Клиент, мол, так и норовит уйти к конкуренту, потому что ему интересно новое, потому что друзья посоветовали, потому что он неверный. А значит, надо его доить всеми возможными средствами пока можно.

Самые злые компании доят клиентов совсем цинично. Купил я как-то в Москве старенький Рено в подарок и поехал к дилеру починить машину. За красиво одетым менеджером, который отдавал мне автомобиль, висела табличка – “соревнование между Львами и Тиграми”, и какие-то цифры. Я так думаю, это соревнование меня и сгубило, Львам явно не хватало моих денег для того чтобы выиграть, и времени, чтобы машинами заниматься, цель у Львов была – выиграть у Тигров премию, и я был удобным средством. Отдал я за ремонт страшные деньги, превышающие стоимость покупки самой машины, но, как оказалось, с машиной никто ничего не делал, разве что с колес пропало несколько гаек. Техосмотр в ГАИ машина не прошла. Почему-то мне эта история запомнилась, и я ее рассказываю при каждом удобном случае, и в конце добавляю: не советую чинить машину в Муса Моторс. Поскольку сейчас случай удобный, и вам говорю: не советую чинить машину в Муса Моторс. И машины покупайте немецкие или японские, не Рено.

Самые хитрые компании составляют тарифные планы, использующие иррациональность мышления.  Суть этого метода в том, чтобы создать у вас впечатление выгодности приобретения, хотя это и не выгодно.  Профессионал всегда обманет дилетанта. Арсенал приемов очень разнообразный. Самый безобидный, и всем известный – цены, оканчивающиеся на 99. Ведь 1,99 еще не 2, и иррационально воспринимается клиентом как 1 с копейкам, хотя на самом деле это почти 2. Другой распространенный прием. В магазине две банки майонеза 0,25 литра могут стоить дешевле, чем одна большая 0,5 литра. Мы напрасно думаем, что оптом дешевле.

Очень интересный пример приводит Дан Ариели, ведущий поведенческий экономист и исследователь иррационального мышления. Журнал The Economist предлагал три варианта подписки:

1. Подписка на  Economist.com   59 долларов.
2. Подписка на бумажное издание  125 долларов.
3. Подписка на на Economist.com +бумажное издание  125 долларов.

Ариели предложил тестовой группе сделать выбор. Большинство выбрало п.3. Затем Ариели убрал вторую опцию, получилось:

1. Подписка на  Economist.com   59 долларов.
2. Подписка на на Economist.com +бумажное издание  125 долларов.

На этот раз большинство тестируемых выбрало п.1. Красивая манпуляция, правда? Ариели позвонил в журнал за разъяснениями, ему пообещали разобраться, но просто сняли объявление. Видимо, американские компании стесняются, когда их ловят на таких трюках. Другое дело Франция, тарифы здесь – целое искусство делать деньги из ничего.

Если вы покупаете в супермаркете конфитюры, то, наверное, заметили, что вкус у них совсем не такой, как у домашнего варенья. Точно так же, вкус соленых магазинных грибов не такой как у домашних, помидоры с полки – не такие вкусные, как на даче, баклажанная икра – сами знаете как выглядит. Удивительно, почему в условиях конкурентной борьбы, профессионалы с современным оборудованием, делают пельмени хуже, чем я сам, любитель-надомник с толстыми пальцами?

Или возьмем стандартное магазинное мороженое эпохи развитого капитализма. Красивое, хорошо упакованное, холодное, невкусное. Посмотрим ингредиенты. Чего там только нет. С точки зрения моих интересов (вкусная здоровая пища), мне тяжело понять, зачем я должен глотать эмульгатор, консервант и краситель. У себя на кухне я не использую, например, пальмовое масло, у меня нет баночек c добавками Еxxx – мне они не нужны, они нужны производителям. Не буду углубляться в технологию пишевого производства, ведь подобные явления можно наблюдать в любой индустрии производства товаров и услуг.

Почему же компании упорно игнорируют нужды своих клиентов? Потому что они могут себе это позволить.

Продолжение в ч.2